Kombination
AchsenkreuzÜberschriftTextfeld:

In der Literatur sind oft widersprüchliche und/oder unvollständige Beschreibungen zur Morphologie von Kristallen zu finden. Dies gilt für klassische Standardwerke wie für neuere Literatur und die Magazine für den Sammler sowie für Daten aus dem Internet. Bei der Arbeit mit Kristall2000 ist es daher erforderlich, alle in den Verzeichnissen vorhandenen Beispiele mit heute allgemein anerkannten Daten zu überprüfen.

Bei vielen Beschreibungen fehlen die Angaben zu den Kristallelementen - für Freunde der Kristallmorphologie eine lästige Unsitte. Grundsätzlich sind zur vollständigen Beschreibung der Morphologie von Kristallen die Kristallelemente (Kristallsystem), die Millerschen Indizes (Kristallformen) und die Symmetrieelemente (Kristallklasse) erforderlich. Nachfolgend sind die geforderten Daten und ihr Bezug zueinander dargestellt.

Textfeld: Kristallelemente sind materialspezifische Eigenschaften.

Die Kristallelemente im

Achsenkreuz oder Kristallsystem

Textfeld: Hinweis: Die Kristallelemente (Achsenverhältnis und Systemwinkel) sind im kubischen System konstant. Damit können die Kristallelemente im kubischen System — und nur hier — zur vollständigen Beschreibung der Morphologie eines Kristalls entfallen, jedoch nicht die Angabe der Kristallklasse.

Das morphologische Achsenverhältnis stimmt im Allgemeinen mit dem aus den Gitterkonstanten ermittelten relativen Achsenverhältnis überein. Dazu gleich eine Ausnahme von der Regel aus Klockmann(1980, S. 566). Der Vergleich der folgenden Bilder macht auch den Bezug zwischen den Formenindizes und dem Kristallsystem deutlich.

Oben ist ein Calcit (Kristallklasse D3d oder -3m) als Idealkristall mit zwei Kristallformen abgebildet. Im linken Bild sind das morphologische Achsenverhältnis und die Formenindizes aus der Beschreibung im Klockmann(1980, S. 566) übernommen. Das mittlere Bild zeigt das Ergebnis für eine Achsenteilung mit den gegebenen Gitterkonstanten und den selben Formenindizes wie im linken Bild. Für das rechte Bild wurden die Formenindizes passend zu den Gitterkonstanten umgerechnet. So wurde mit Kristall2000 erreicht, dass das rechte Bild mit dem linken Bild morphologisch gleich ist.

 

Die Indizes sind hier gemäß der Beziehung 1:(0,855x4) = 1:3,42 umgerechnet.

Bei allen Millerschen Indizes (hkl) wurde der Index l mit 4 multipliziert.

Textfeld: Millersche Indizes zum Beschreiben von Kristallflächen.

Jede der 32 Kristallklassen (Symmetrieklassen, Punktgruppen) ist eine der möglichen Kombinationen aus den einfachen und gekoppelten Symmetrieelementen Drehachsen, Spiegelebenen und Inversionszentrum. In Kristall2000 sind den Kristallklassen die möglichen Kombinationen der Symmetrieelemente unveränderlich zugeordnet. Das Programm ermittelt für jede Kristallklasse mit den angegebenen Indizes einer Fläche alle möglichen Flächenindizes der Kristallform. Dazu ein einfaches Beispiel mit zwei Kristallformen gezeigt im hexagonalen Kristallsystem.

Textfeld: Symmetrieelemente kombiniert zu Kristallklassen.

Hier ist im linken Bild das Symmetriegerüst der Kristallklasse 6/m im hexagonalen Kristallsystem dargestellt. In dieser Klasse sind als Symmetrieelemente eine Drehachse 6[001] und eine Spiegelebene m(001) gegeben. Durch entsprechende Symmetrieoperationen können danach alle Kristallformen dieser Kristallklasse abgeleitet werden.

Symmetriegerüst 6/m

Unten im linken animierten Bild wird die Symmetrieoperation mit der sechszähligen Achse und der Kristallform {100} anschaulich. Eine beliebige Fläche dieser Kristallform mit 360°/6 = 60° um die Achse [001] gedreht, ergibt alle möglichen Flächen der Form. Die so ermittelten Flächenindizes bilden nur eine offene Kristallform - das Prisma {100}. Hier muss mit einer weiteren Kristallform das offene Prisma zu einem Kristallkörper geschlossen werden.

Wird z.B. das Pinakoid {001} hinzugefügt, dann ermittelt Kristall2000 über die Spiegelebene (001) die Indizes der Deckfläche (001) und der Grundfläche (00-1). Damit sind alle Flächenindizes der Kombination {100} und {001} gegeben.

Symmetrieoperation

Drehung zum

Prisma {100}

als offene Kristallform

Symmetrieoperation

Spiegelung zum

Pinakoid {001}

als offene Kristallform

geschlossener Kristallkörper

aus der Kombination

{100} und {001}

Nun gibt es natürlich schlanke und gedrungene Kristalle. Diese Erscheinung wird allgemein als Habitus bezeichnet. Um den Habitus zu steuern wird in Kristall2000 die Eingabe der Indizes {hkl}T um den Wert T erweitert. Bei den Bildern rechts und links wurde bei der selben Formenkombination {100} + {001} – allgemein als Tracht bezeichnet - der Wert für T vertauscht und so der Habitus verändert.

In Kristall2000 sollte der Wert T für die Kristallform, die den Habitus bestimmt, nahe bei 200 Einheiten liegen.

Prisma {100}600

Pinakoid {001}200

Prisma {100}200

Pinakoid {001}600

Weiterführende Literatur finden Sie auf der Seite Informationen.

Mit den Millerschen Indizes wird die Lage einer Kristallfläche im Achsenkreuz beschrieben. Nach Borchardt-Ott(1997, Seite 14):“Man nennt (hkl) die Millerschen Indizes; sie sind als das kleinste ganzzahlige Vielfache der reziproken Achsenabschnitte definiert.“ Dazu eine exemplarische Darstellung (Ableitung) der Millerschen Indizes.

In jedem Oktanten des Achsenkreuzes sind sieben Lagen einer Ebene möglich, die sich zu drei Fällen zusammenfassen lassen.

1. die Ebene schneidet drei Achsen - als allgemeine Lage bezeichnet.

2. die Ebene schneidet zwei Achsen (a und b, a und c oder b und c).

3. die Ebene schneidet eine Achse (a,b oder c).

1.Fall: Im linken Bild schneidet die Ebene in allgemeiner Lage ganzzahlige Achsenabschnitte. Die Ableitung der Millerschen Indizes (hkl) beginnt indem das Verhältnis dieser Abschnitte reziprok aufgestellt wird. Danach werden die Brüche mit dem Hauptnenner (das kleinste gemeinsame Vielfache) erweitert, damit sich nach dem Kürzen der Brüche ganze Zahlen ergeben.

Textfeld: 1     1    1
— : — : —
a     b    c
Textfeld: 1     1    1
— : — : —
3     2    4
Textfeld: 12   12   12
— : — : —
3     2    4
Textfeld: (hkl)

4 : 6 : 3
Textfeld: 1     1     1
— : — : —
3    2    ∞
Textfeld: 6    6     6
— : — : —
3     2    ∞
Textfeld: (hkl)

2 : 3 : 0

=>

=>

=>

=>

sieben verschiedene Lagen einer Ebene im Achsenkreuz

3.Fall: Sinngemäß wie zuvor sieht die Ableitung der Indizes für eine Ebene, die nur die Achse c schneidet wie folgt aus.

Textfeld: 1     1    1
— : — : —
∞   ∞    4
Textfeld: 4    4     4
— : — : —
∞   ∞   4
Textfeld: (hkl)

0 : 0 : 1

=>

=>

Achsenkreuz mit verschiedener Achsenteilung und drei Ebenen in verschiedenen Lagen

Achsenkreuz mit drei Ebenen bei gleicher Neigung jedoch unterschiedlichen Achsenabschnitten

Das linke animierten Bild zeigt drei Ebenen mit gleicher Neigung im Achsenkreuz. Die Ebenen schneiden auf den Achsen ganzzahlige Achsenabschnitte von verschiedener Länge. Für diese drei Ebenen sind die reziproken Verhältnisse der Achsenabschnitte zum Kürzen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen erweitert.

Textfeld: 12  12  12
— : — : —
3    2   4
Textfeld: 24  24  24
— : — : —
6    4    8
Textfeld: 36  36  36
— : — : —
9    6   12

Nach dem Kürzen ergibt sich für alle drei Ebenen hkl = 463. Damit kommt zum Ausdruck, dass die Ebenen parallel liegen. Bei näherer Betrachtung fällt auch auf, dass die Brüche links um den Faktor 1, in der Mitte um 2 und rechts um 3 erweitert sind. Dieser Faktor wird in Kristall2000 mit T bezeichnet und damit die absolute Größe einer Kristallform angegeben. Die Beschreibung der drei Ebenen wäre damit in Kristall2000 (hkl)T = (463)1 bzw. (463)2 und (463)3. Eine Ebene mit T=0 liegt im Ursprung des Achsenkreuzes.

Wunschliste

Wollen Sie mit Kristall2000 Abbildungen von Kristallen zeichnen und veröffentlichen?

Dann bedenken Sie bitte folgendes:

1. Geben Sie eine vollständige Beschreibung (zumindest die Quelle) der Kristallmorphologie an.

2. Bilden Sie Ihre Kristalle mindestens einmal in der Axonometrie ab.

3. Mit den unsichtbaren Kanten in der Axonometrie lässt sich die Tiefe reproduzieren.

4. Auch das Achsenkreuz erleichtert das räumliche Erfassen der Kristallkörper.

5. Für schöne Bilder bietet sich eine nur schattierte, kolorierte Ausgabe an.

und

6. Natürlich viel Spaß mit der Kristallmorphologie und Kristall2000.

Amblygonit aus dem triklinen Kristallsystem

im Verzeichnis „DanasSystem“

auf der CD

Wie in der Abbildungsgeometrie wird auch in der Kristallmorphologie zur Abbildung von Kristallkörpern im Raum ein Koordinatensystem zu Grunde gelegt. Es gibt sieben Typen von Achsenkreuzen - die so genannten Kristallsysteme. Unterscheidungsmerkmale sind das variable Achsenverhältnis und die drei variablen Systemwinkel - auch als Kristallelemente bezeichnet (Klockmann(1980), S. 18).

1. das kubische System

a=b=c ;  alpha=beta=gamma = 90°

2. das tetragonale System

a=bc;  alpha=beta=gamma = 90°

3. das hexagonale System

a=bc;  alpha=beta = 90°; gamma = 120°

4. das trigonale System

a=bc;  alpha=beta = 90°; gamma = 120°

5. das orthorhombische System

abc;  alpha=beta=gamma = 90°

6. das monokline System

abc;  alpha=gamma = 90°; beta 90°;

7. das trikline System

abc; alphabetagamma <=> 90°

 

Die Achsenteilung wird traditionell als relatives Achsenverhältnis a:b:c (aus morphologischen Messungen) angegeben. Wobei b mit 1 konstant bleibt. Heute ist es üblich als absolute Achsenteilung die Gitterkonstanten a0, b0 und c0 (aus röntgenographischen Messungen) anzugeben. Das relative Achsenverhältnis ist nach der folgenden Beziehung aus den Gitterkonstanten zu ermitteln.

a0   b0   c0

— : — : —

b0   b0   b0

Auf der CD mit Kristall2000 sind eine Vielzahl von Datensätzen mit den so genannten Kristallelementen - Achsenverhältnis und Systemwinkel - gespeichert. Im Programm sind die Kristallelemente um den Mineralnamen, das Kristallsystem und die Kristallklasse erweitert.

2.Fall: Auch in den besonderen Lagen schneidet die Ebene ganzzahlige Achsenabschnitte. Als Beispiel die Ableitung der Indizes für die Ebene, die im Bild nur die Achsen a und b schneidet. Der Schnittpunkt mit der Achse c liegt im Unendlichen, d.h. die Ebene liegt parallel zur Achse c. Dazu ist zu beachten, dass ein durch unendlich geteilter Bruch mit 0 gleichzusetzen ist.

+

=

morphologisches Achsenverhältnis

a : c = 1 : 0,855

Gitterkonstanten

a0; c0 = 4,99; 17,06

Gitterkonstanten

a0; c0 = 4,99; 17,06

a0 : c0 = 1 : 3,42

Textfeld: b0
Textfeld: co
Textfeld: a0
SymmetriegerüstHabitus02Habitus01
sieben Lagen
drei Fälleparallele FlächenPrisma
Pedion
Amplygonit
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